miércoles, 22 de agosto de 2007

CONCEPTOS GENERALES

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
La frecuencia relativa del suceso A:
Propiedades de la frecuencia relativa:
0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.
fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø.
fr(E) = 1 fr(Ø) = 0.

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.


Árbol de probabilidades: representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Complemento de un evento: elementos del espacio muestral no incluidos en el evento considerado.

Dependencia estadística: condición en la que la probabilidad de presentación de un evento depende de la presentación de algún otro evento, o se ve afectada por ésta.

Diagrama de Venn: representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan como partes de dicho rectángulo.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Evento: uno o más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados posibles de realizar un experimento.

Eventos exhaustivamente colectivos: lista de eventos que representa todos los resultados posibles de un experimento.

Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no se pueden presentar juntos.

Experimento aleatorio actividad que tiene como resultado o que produce un evento. Prueba donde existen dos o más resultados posibles, y no se pude anticipar cuál de ellos va a ocurrir.

Frecuencia relativa de presentación: fracción de veces que a la larga se presenta un evento cuando las condiciones son estables, o frecuencia relativa observada de un evento en un número muy grande de intentos o experimentos.

Independencia estadística: condición en la que la presentación de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de otro evento.

Probabilidad: la posibilidad de que algo suceda.

Probabilidad clásica: número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.

Probabilidad condicional: probabilidad de que se presente un evento, dado que otro evento ya se ha presentado.

Probabilidad conjunta: probabilidad de que se presenten dos o más eventos simultáneamente o en sucesión.

Probabilidad marginal: probabilidad incondicional de que se presente un evento; probabilidad de que se presente un solo evento. Probabilidad simple, o probabilidad de un evento cualquiera.

Probabilidad subjetiva: probabilidad basada en las creencias personales de quien hace la estimación de probabilidad. Asignación de probabilidad en forma intuitiva, en base a la experiencia o el conocimiento.

Producto de probabilidades: probabilidad de la intersección de dos o más eventos.

Suma de probabilidades: probabilidad de la unión de dos o más eventos.

ESPACIO MUESTRAL
La Estadística, y por tanto el Cálculo de Probabilidades, se ocupan de los denominados fenómenos o experimentos aleatorios.
El conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado experimento aleatorio se denomina Espacio Muestral asociado a dicho experimento y se suele representar por Ω. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales.
Así por ejemplo, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}; el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo Cara y Cruz los sucesos elementales asociados al primer experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos elementales del segundo experimento aleatorio.
A pesar de la interpretación que tiene el espacio muestral, no es más que un conjunto abstracto de puntos (los sucesos elementales), por lo que el lenguaje, los conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos constituyen un contexto natural en el que desarrollar el Cálculo de Probabilidades.
Sea A el conjunto de las partes de, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω. En principio, cualquier elemento de A, es decir, cualquier subconjunto del espacio muestral contendrá una cierta incertidumbre, por lo que trataremos de asignarle un número entre 0 y 1 como medida de su incertidumbre. En Cálculo de Probabilidades dichos subconjuntos reciben en el nombre de sucesos, siendo la medida de la incertidumbre su probabilidad. La tripleta (Ω,A,P) recibe el nombre de espacio probabilístico.
Por tanto, asociado a todo experimento aleatorio existen tres conjuntos: El espacio muestral, la clase de los sucesos, es decir, el conjunto de elementos con incertidumbre asociados al experimento aleatorio A, y una función real, P:A [0, l], la cual asignará a cada suceso (elemento de A) un número entre cero y uno como medida de su incertidumbre.
Se advierte no obstante, que la elección del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio no tiene por qué ser única, sino que dependerá de que sucesos elementales que se quieran considerar como distintos y del problema de la asignación de la probabilidad sobre esos sucesos elementales.
Respecto a la clase de los sucesos A, es natural que ésta tenga una estructura tal que permita hablar no solo de sucesos sino también de su unión, intersección, diferencia, complementario, etc., debiendo ser la clase A, en consecuencia, cerrada a dichas operaciones entre "conjuntos" (entre sucesos). Esta es la situación del conjunto de las partes cuando es finito o inclusive numerable (caso, por ejemplo, del espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez). En otras ocasiones en las que sea un conjunto continuo (por ejemplo, cuando estudiamos el tiempo que tarda un isótopo radioactiva en volverse inestable), deberá ser A un conjunto estrictamente más pequeño que el conjunto de las partes de Ω.
En todo caso se puede pensar en A como en el conjunto que contiene todos los elementos de interés, es decir, todos los sucesos a los que les corresponde una probabilidad.
Algunas peculiaridades del Cálculo de Probabilidades respecto a la teoría de conjuntos. Aquí, el conjunto vacio 0 recibe el nombre de suceso imposible, definido como aquel subconjunto de que no contiene ningún suceso elemental y que corresponde a la idea de aquel suceso que no puede ocurrir.
De forma análoga, el espacio total recibe el nombre de suceso seguro al recoger dicha denominación la idea que representa.
Se Llamará sucesos incompatibles a aquellos cuya intersección sea el suceso imposible.
Por último, puede decirse que la inclusión de sucesos, A B, se interpreta aquí como que siempre que se cumpla el suceso A se cumple el B; por ejemplo, siempre que salga el 2 (suceso A) sale par (suceso B).
Ejemplo: "Lanzamiento de un dado"
El espacio probabilístico asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado, tendrá como espacio muestras Ω={1,2,3,4,5,6} y como espacio de sucesos el conjunto de las partes por ser Ω finito, el cual contiene 26 elementos,
A = { Φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,5,6}, {3,4,5}, {3,4,6}, {3,5,6}, {4,5,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1.,2,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,4,5,6}, {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6}, {2, 3, 4, 5, 6}, Ω }.
Obsérvese que este conjunto contiene los sucesos sobre los que habitualmente se tiene incertidumbre, como por ejemplo que salga un número par, {2,4,6}, o un número mayor que cuatro, {5,6}, o simplemente que salga un seis, {6}, y que como se ve es cerrado respecto de las operaciones entre conjuntos.
El último elemento del espacio probabilístico es la probabilidad, que como antes se anotó está definida sobre A, asignando a cada suceso un número entre 0 y 1.

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES:

Concepto frecuentista
Es un hecho, empíricamente comprobado, que la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse cuando la frecuencia total aumenta.
Surge así el concepto frecuentista de la probabilidad de un suceso como un número ideal al que converge su frecuencia relativa cuando la frecuencia total tiende a infinito.
Así, solemos afirmar que la probabilidad de que salga un seis al tirar un dado es 1/6 porque al hacer un gran número de tiradas su frecuencia relativa es aproximadamente esa.
El problema radica en que al no poder repetir la experiencia infinitas veces, la probabilidad de un suceso ha de ser aproximada por su frecuencia relativa para un n suficientemente grande, y ¿cuán grande es un n grande?. 0, ¿qué hacer con aquellas experiencias que solo se pueden repetir una vez?.
Concepto clásico
Está basado en el concepto de resultados igualmente verosímiles y motivado por el denominado Principio de la Razón Insuficiente, el cual postula que si no existe un fundamento para preferir una entre varias posibilidades, todas deben ser consideradas equiprobables.
Así, en el lanzamiento de una moneda perfecta la probabilidad de cara debe ser igual que la de cruz y, por tanto, ambas iguales a 1/2..
De la misma manera, la probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados al lanzamiento de un dado debe ser 1/6.
Laplace recogió esta idea y formuló la regla clásica del cociente entre casos favorables y casos posibles, supuestos éstos igualmente verosímiles.
El problema aquí surge porque en definitiva igualmente verosímil es lo mismo que igualmente probable, es decir, se justifica la premisa con el resultado. Además ¿qué ocurre cuando estamos considerando un experimento donde no se da esa simetría?, o, ¿ qué hacer cuando el número de resultados posibles es infinito?.
Concepto subjetivo
Se basa en la idea de que la probabilidad que una persona da a un suceso debe depender de su juicio y experiencia personal, pudiendo dar dos personas distintas probabilidades diferentes a un mismo suceso.
Estas ideas pueden formalizarse, y si las opiniones de una persona satisfacen ciertas relaciones de consistencia, puede llegarse a definir una probabilidad para los sucesos.
EVENTOS
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.